Page 10 - 0419

‫מועד אביב ‪2019‬‬ ‫חשיבה מילולית ‪ -‬פרק ראשון ‪- 9 -‬‬

‫קטע קריאה (שאלות ‪)23-18‬‬

‫קראו בעיון את הקטע‪ ,‬וענו על השאלות שאחריו‪.‬‬

‫כל ענף מענפי המתמטיקה מבוסס על אוסף של הגדרות ואקסיומות המשמשות להוכחת כל המשפטים הכלולים‬ ‫(‪ )1‬‬
‫בענף זה‪ .‬הגאומטריה של אוקלידס‪ ,‬למשל‪ ,‬מבוססת על חמש אקסיומות‪.‬‬

‫מבחנו של כל ענף במתמטיקה הוא בעקיבות שלו‪ ,‬כלומר בהיעדר סתירה בין המשפטים השונים שהוא מכיל‪.‬‬ ‫ ‬
‫למשל‪ ,‬האקסיומה החמישית של אוקלידס קובעת שדרך נקודה הנמצאת מחוץ לישר כלשהו עובר בדיוק ישר אחד‬ ‫(‪) 5‬‬

‫המקביל לו‪ .‬בעזרת אקסיומה זו אפשר להוכיח שסכום הזוויות במשולש הוא ‪ 180‬מעלות‪ .‬לכן‪ ,‬אילו הכילה‬ ‫(‪) 10‬‬
‫הגאומטריה של אוקלידס משפט הקובע שייתכן כי סכום הזוויות במשולש יהיה שונה מ‪ 180-‬מעלות‪ ,‬היה הדבר‬

‫בבחינת סתירה פנימית‪ .‬מאחר שהגאומטריה היא ענף מתמטי המנסה לתאר את העולם הממשי‪ ,‬עליה לעמוד‬
‫במבחן נוסף‪ ,‬מלבד מבחן העקיבות‪ :‬עליה גם לתאר נכונה את המתרחש בעולם‪ .‬למשל‪ ,‬אילו הצלחנו לבנות‬
‫משולש שסכום זוויותיו אינו ‪ 180‬מעלות‪ ,‬לא הייתה הגאומטריה האוקלידית יכולה להיחשב תיאור נכון של‬
‫עצמים בעולם הממשי‪ .‬מכיוון שכל משפט בגאומטריה נובע בהכרח מההגדרות ומהאקסיומות שבבסיסה‪,‬‬

‫נכונותה של הגאומטריה‪ ,‬כמו גם העקיבות שלה‪ ,‬תלויות בנכונותן ובעקיבותן של ההגדרות והאקסיומות הללו‪.‬‬

‫במאה השמונה עשרה חשו מתמטיקאים רבים שהאקסיומה החמישית של אוקלידס שונה מארבע האקסיומות‬ ‫ ‬
‫האחרות‪ :‬בעוד אלו פשוטות‪ ,‬האקסיומה החמישית מורכבת יחסית‪ ,‬ומתמטיקאים חשבו שלמעשה אפשר להוכיח‬ ‫ ‬
‫אותה בעזרת ארבע האקסיומות האחרות‪ .‬המתמטיקאי הגרמני רימן ניסה להוכיח את האקסיומה החמישית על‬ ‫(‪ )15‬‬

‫דרך השלילה‪ :‬אם אומנם האקסיומה החמישית נובעת מהארבע האחרות‪ ,‬כל הנחה השוללת אותה תעמוד‬ ‫(‪ )20‬‬
‫בסתירה להן‪ .‬רימן החליף את האקסיומה החמישית באקסיומה שלפיה דרך נקודה הנמצאת מחוץ לישר כלשהו‬

‫לא עובר שום ישר המקביל לו‪ ,‬והוכיח משפטים בעזרתה ובעזרת ארבע האקסיומות האחרות‪ .‬להפתעתו קרה‬
‫ההפך משהתכוון לו‪ .‬רימן הראה שאוסף המשפטים המתקבלים בדרך זו עקיב כמו הגאומטריה האוקלידית‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬אם תימצא סתירה בין האקסיומה החמישית שהוא הגדיר לבין הארבע האחרות‪ ,‬יעיד הדבר שיש סתירה‬
‫גם בינן לבין האקסיומה החמישית של אוקלידס‪ .‬מכאן שלא זו בלבד שלא עלה בידו להוכיח את האקסיומה‬

‫החמישית‪ ,‬אלא הוא אף הראה שאי אפשר לעשות זאת‪.‬‬

‫מהגאומטריה של רימן נובע שסכום הזוויות במשולש גדול מ‪ 180-‬מעלות‪ ,‬והוא ילך ויגדל ככל שיתארכו הצלעות‬ ‫ ‬
‫של המשולש‪ .‬לכאורה‪ ,‬מכיוון ששתי הגאומטריות מתארות את העולם באופנים שונים‪ ,‬היה אפשר להכריע ביניהן‬ ‫ ‬
‫בעזרת מבחן הנכונות‪ ,‬אלא שמבחינה מעשית לא היו ההבדלים בין שתי הגאומטריות כה גדולים‪ .‬כל עוד מדובר‬ ‫(‪ )25‬‬

‫במשולשים ששטחם כמה מאות קילומטרים רבועים‪ ,‬ההבדלים בין ניבויי שתי הגאומטריות קטנים מכדי שיהיה‬ ‫ ‬
‫אפשר למדוד אותם‪ .‬רק בטווחים גדולים בהרבה‪ ,‬למשל במרחקים בין כוכבים‪ ,‬יש הבדלים שאפשר להבחין‬ ‫(‪ )30‬‬

‫בהם‪ .‬מכיוון שבימיו של רימן לא הייתה קיימת הטכנולוגיה המאפשרת לבצע מדידות במרחקים שכאלו‪ ,‬לא היה‬
‫אפשר להכריע איזו מהגאומטריות היא הנכונה‪ .‬במאה העשרים השתנה מצב זה‪ .‬התפתחות הטכנולוגיה אפשרה‬

‫למדוד את הזוויות שבין כוכבים‪ .‬התוצאה שהתקבלה תאמה את הגאומטריה של רימן‪ ,‬ולא את הגאומטריה‬
‫האוקלידית‪ .‬עם זאת‪ ,‬מכיוון שההבדלים בין תיאורי העולם על פי שתי הגאומטריות אינם ניתנים להבחנה בקני‬

‫מידה קטנים‪ ,‬מעדיפים במקרים רבים את הגאומטריה האוקלידית על שום פשטותה‪.‬‬

‫השאלות‬

‫איזו מהקביעות הבאות נכונה על פי שורות ‪?2-1‬‬ ‫‪. 18‬‬
‫ ‬
‫(‪ )1‬הגאומטריה של אוקלידס כוללת אקסיומות‪ ,‬אך אינה כוללת משפטים‬
‫(‪ )2‬כל ענף במתמטיקה מבוסס על חמש אקסיומות‬

‫(‪ )3‬המשפטים בכל ענף מתמטי משמשים להוכחת האקסיומות שאותו ענף מבוסס עליהן‬
‫(‪ )4‬כל המשפטים של הגאומטריה האוקלידית מוכחים בעזרת חמש אקסיומו ת‬

‫© כל הזכויות שמורות למרכז ארצי לבחינות ולהערכה (ע"ר)‬
‫אין להעתיק או להפיץ בחינה זו או קטעים ממנה בכל צורה ובכל אמצעי‪ ,‬או ללמדה ‪ -‬כולה או חלקים ממנה ‪ -‬בלא אישור בכתב מהמרכז הארצי לבחינות ולהערכה‪.‬‬