Page 12 - ver1

‫‪ .21‬התשובה הנכונה היא (‪.)3‬‬
‫נקרא את המשפט שאליו הפנתה אותנו השאלה – ״מכאן שלא זו בלבד שלא עלה בידו להוכיח את‬
‫האקסיומה החמישית‪ ,‬אלא הוא אף הראה שאי אפשר לעשות זאת״ (שורות ‪ .)20-21‬כלומר‪ ,‬לא רק‬
‫שרימן עצמו לא הצליח להוכיח את האקסיומה החמישית‪ ,‬ניסיונותיו לעשות כן‪ ,‬הראו כי אין כל‬
‫אפשרות להוכיחה‪ .‬אם כן‪ ,‬אנו מבינים כי המילה ״זאת״ מתייחסת להוכחת האקסיומה החמישית‪.‬‬

‫תשובה (‪ )1‬אינה נכונה‪ .‬בפסקה השלישית נאמר כי אוסף המשפטים שקיבל רימן הוא תוצר של החלפת‬
‫האקסיומה החמישית באקסיומה מנוגדת לה (שורות ‪ .)16-18‬עניין זה הוא שעמד בבסיס גילויו כי לא‬
‫ניתן להוכיח את האקסיומה החמישית של אוקלידס‪ ,‬וכאמור‪ ,‬הוכחת אקסיומה זו מתבטאת בהקשר‬

‫האמור במילה ״זאת״ (שורה ‪.)21‬‬
‫תשובה (‪ )2‬אינה נכונה‪ .‬מבנה המשפט מרמז כי המאזכר ״זאת״ מתייחס לגורם שכבר נזכר בו‪ .‬הפרכת‬

‫הגאומטריה האוקלידית כלל לא הופיעה במשפט (ולמעשה‪ ,‬לא הופיעה בפסקה כולה)‪ ,‬ומכאן שלא‬
‫ייתכן כי היא זו שאוזכרה בסופו‪( .‬כמו כן‪ ,‬בהסבר הפותח את הפתרון לשאלה זו אנו מבינים את‬

‫הקשר בין חלקי המשפט ואת משמעותו‪ ,‬ומבינים כי המאזכר בסופו מתייחס להוכחת האקסיומה‬
‫החמישית)‪.‬‬

‫תשובה (‪ )3‬נכונה‪ .‬כאמור‪ ,‬המילה ״זאת״‪ ,‬אכן מתייחסת להוכחת האקסיומה החמישית‪ .‬רימן לא‬
‫הצליח להוכיחה‪ ,‬והראה כי אי אפשר לעשות זאת (=להוכיח את האקסיומה החמישית)‪.‬‬

‫תשובה (‪ )4‬אינה נכונה‪ .‬כפי שהוסבר לעיל‪ ,‬הביטוי ״זאת״ מתייחסת להוכחת האקסיומה החמישית‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬בפסקה נאמר כי רימן הראה שאוסף המשפטים המתקבלים על ידי החלפת האקסיומה‬
‫החמישית באקסיומה המנוגדת לה‪ ,‬הביאה ליצירת אוסף משפטים עקיב כמו הגיאומטריה‬

‫האוקלידית‪ .‬אם כן‪ ,‬אין היגיון בטענה כי הוא הראה שאי אפשר להוכיח את עקיבות הגאומטריה שלו‬
‫עצמו‪.‬‬

‫‪ .22‬התשובה הנכונה היא (‪.)2‬‬
‫נבחן כל אחת מן הקביעות המופיעות בתשובות לאור האמור בפסקה השלישית‪ ,‬ונבדוק איזו מהן עולה‬

‫ממנה‪.‬‬

‫תשובה (‪ )1‬אינה נכונה‪ .‬בפסקה נאמר כי במאה השמונה‪-‬עשרה מתמטיקאים רבים חשו כי האקסיומה‬
‫החמישית של אוקלידס שונה מארבע האקסיומות האחרות‪ ,‬בכך שהיא מורכבת מהן‪ ,‬וסברו כי ניתן‬

‫להוכיחה בעזרת ארבע האחרות (שורות ‪ ,)12-14‬ולא כי היא עומדת בסתירה להן‪ ,‬כפי שנטען בתשובה‬
‫זו‪.‬‬

‫תשובה (‪ )2‬נכונה‪ .‬בתחילת הפסקה נאמר כי המתמטיקאים הנזכרים בשורה ‪ 13‬סברו כי ניתן להוכיח‬
‫את האקסיומה החמישית בעזרת ארבע האקסיומות האחרות של אוקלידס‪ .‬בהמשך נאמר כי בניסיונו‬
‫של רימן להוכיח אותה על דרך השלילה הניח שאם אכן היא נובעת מאותן ארבע אקסיומות‪ ,‬אזי שכל‬

‫הנחה השוללת אותה תעמוד בסתירה להן‪ .‬ואולם בחצייה השני של הפסקה נאמר לנו כי מהחלפת‬
‫האקסיומה החמישית באקסיומה מנוגדת לה‪ ,‬התקבל אוסף משפטים עקיב כמו הגאומטריה‬

‫האוקלידית‪ .‬אם כן‪ ,‬אנו מבינים כי למעשה רימן הראה שמה שטענו המתמטיקאים הללו אכן מוטעה‪,‬‬
‫כפי שנטען בתשובה זו‪.‬‬