Page 8 - index

‫מועד פברואר ‪2012‬‬ ‫ חשיבה מילולית ‪ -‬פרק ראשו ן ‪- 7 -‬‬

‫הבנת הנקרא (שאלות ‪)30-25‬‬

‫קראו בעיון את הקטע‪ ,‬וענו על השאלות שאחריו‪.‬‬

‫אם נתבונן במיקרוסקופ בסיב אחד של נוצה‪ ,‬נגלה שצורתו דומה מאוד לצורתה של הנוצה כולה‪ .‬זו דוגמה‬ ‫(‪ )1‬‬
‫לתופעת הדמיון העצמי‪ ,‬שבה לשלם ולחלקים שמרכיבים אותו צורה דומה‪ .‬הדמיון העצמי נפוץ למדי בטבע‪:‬‬ ‫(‪) 5‬‬
‫בצורתם של עלים‪ ,‬עננים‪ ,‬רשתות כלי דם ועוד‪ .‬קו החוף מרובה המפרצים של בריטניה‪ ,‬למשל‪ ,‬מאופיין גם הוא‬
‫בדמיון עצמי‪ .‬כשנתבונן בו הן ממעוף ציפור הן מגובהו של אדם‪ ,‬הצורות המגדירות את קו החוף ייראו דומות‬

‫מאוד אלה לאלה‪ ,‬אף שגודלן שונה‪.‬‬

‫מתברר שלכל התופעות המאופיינות בדמיון עצמי תכונה משותפת‪ :‬אם‪ ,‬למשל‪ ,‬נמדוד את אורך קו החוף של‬ ‫ ‬
‫בריטניה בתצלום אווירי‪ ,‬ואחר כך נמדוד את אותו קו חוף בתצלום מוגדל פי שניים‪ ,‬נופתע לגלות כי אורך קו‬ ‫(‪ )10‬‬
‫החוף אינו גדל פי שניים‪ ,‬כפי שהיה אפשר לצפות‪ ,‬אלא ביותר מכך‪ .‬ככל שנגדיל את התצלום (כלומר נקטין את‬
‫קנה המידה)‪ ,‬כך יגדל אורך קו החוף שיתקבל‪ .‬השכל הישר היה אומר כי אף שאורך החוף הנמדד ילך ויגדל‪,‬‬
‫הוא יתקרב בהתמדה לקראת ערך סופי מסוים‪ ,‬שהוא אורכו הא ִמתי של החוף‪ .‬אולם מתברר כי ככל שק ֵטן קנה‬

‫המידה של המדידות‪ ,‬כך ג ֵדל אורכו של החוף‪ ,‬שכן נוסף על המפרצים וחצאי האיים מתגלים עוד ועוד תת‪-‬‬
‫מפרצים ותת חצאי‪-‬איים קטנים מהם‪ ,‬וכן הלאה‪.‬‬

‫כדי לנסות להסביר תופעה זו‪ ,‬נעזר המתמטיקאי בנואה מנדלברוט במושג הממד‪ :‬אם נגדיל במידה מסוימת צלע‬ ‫ ‬
‫של גוף‪ ,‬יגדל הגוף כולו באותה מידה‪ ,‬בחזקת הממד‪ .‬קווים ישרים הם חד‪-‬ממדיים‪ ,‬כלומר ממדם הוא ‪( 1‬אם‬ ‫(‪ )15‬‬
‫נגדיל פי ‪ 3‬קטע‪ ,‬נקבל קטע שאורכו גדול פי ‪ִ ,)31‬משטחים הם דו‪-‬ממדיים‪ ,‬כלומר ממדם הוא ‪( 2‬אם נגדיל פי‬
‫‪ 3‬את צלעותיו של מלבן‪ ,‬נקבל מלבן ששטחו גדול פי ‪ ,)32‬וממדם של גופים בעלי נפח הוא ‪( 3‬אם נגדיל פי ‪ 3‬את‬ ‫(‪ )20‬‬
‫צלעה של קובייה‪ ,‬נקבל קובייה שנפחה גדול פי ‪ .)33‬מנדלברוט מצא כי את ממדו של קו החוף של יבשות אי‬
‫אפשר לבטא במספר שלם‪ ,‬אלא אך ורק באמצעות שבר‪ .‬כלומר‪ ,‬אם נשווה בין שני תצלומים של קו החוף של‬
‫בריטניה‪ ,‬שאחד מהם גדול פי ‪ 2‬מהאחר‪ ,‬נגלה שקו החוף בתצלום הגדול ארוך יותר מפי ‪ ,2‬וליתר דיוק פי ‪2‬‬
‫בחזקת שבר מסוים‪ ,‬שהוא גדול מ‪ 1-‬וקטן מ‪ .2-‬ככל שחוף מפורץ יותר‪ ,‬כך הממד שלו גדול יותר‪ .‬מנדלברוט‬

‫הראה כי קווי חוף הם רק דוגמה אחת לתופעות רבות בטבע שמאופיינות על ידי פרקטלים ‪ -‬ממדים המבוטאים‬
‫באמצעות שברים‪ .‬עננים‪ ,‬רשת כלי הדם בגוף או פתיתי שלג ‪ -‬כולם דוגמאות לצורות טבעיות שהממד שלהן אינו‬

‫מספר שלם אלא הוא פרקטל‪.‬‬

‫האם אפשר לרתום את ההבנה הפרקטלית של הטבע לטובת האדם? מדענים רבים סבורים שכן‪ .‬דוגמה לכך‬ ‫ ‬
‫היא הניסיון ליצור כלי דם מלאכותיים‪ ,‬שיחליפו כלי דם שנפגעו‪ .‬מערכת כלי הדם בגוף היא מערכת המאופיינת‬ ‫(‪ )25‬‬
‫בדמיון עצמי‪ ,‬שבה פועלים במקביל כלי דם גדולים‪ ,‬המופקדים על העברת דם לאברים גדולים‪ ,‬וכלי דם קטנים‪,‬‬
‫שמספקים דם לתאי גוף יחידים‪ .‬לכאורה‪ ,‬המידע הנדרש לתכנון מלאכותי של מבנים כל כך מורכבים ומדוייקים‬ ‫(‪) 30‬‬

‫הוא אינסופי‪ .‬אולם הפרקטלים עשויים להציע פתרון פשוט‪ ,‬שיצריך כמות מידע מינימלית‪ .‬פתרון כזה יהיה‬
‫מבוסס על יצירה של מערכת המורכבת מצורות פרקטליות מסובכות אך בעלות דמיון עצמי בכל קנה מידה‪ ,‬תוך‬

‫התבססות על נוסחה פרקטלית אחת פשוטה‪.‬‬

‫השאלות‬

‫‪ . 25‬איזו מהתופעות הבאות היא דוגמה לתופעת הדמיון העצמי?‬

‫(‪ )1‬ענן גדול וענן קטן דומים זה לזה בצורתם‬
‫(‪ )2‬אצל בעלי חיים שונים כלי הדם דומים זה לזה בצורתם‬
‫(‪ )3‬בקנה מידה גדול‪ ,‬עננים מסוגים שונים דומים זה לזה בצורתם‬
‫(‪ ) 4‬כלי דם קטן דומה בצורתו לכלי הדם הגדול שהוא מסתעף ממנו‬

‫© כל הזכויות שמורות למרכז ארצי לבחינות ולהערכה (ע"ר)‬

‫אין להעתיק או להפיץ בחינה זו או קטעים ממנה בכל צורה ובכל אמצעי‪ ,‬או ללמדה ‪ -‬כולה או חלקים ממנה ‪ -‬בלא אישור בכתב מהמרכז הארצי לבחינות ולהערכה‪.‬‬